第一空：本空为主谓宾关系。
提取本空主谓宾，“不断________基础”。

A选项“奠定”意思是建立。D选项“打造”意思是制造、创造。二者均有“建立基础”的意思，但是不能“不断建立基础”，故排除A、D。

B选项“筑牢”意思是修建使牢固。C选项“巩固”指加强力量使其更加坚固、牢靠。二者均有使基础更加坚固的意思，保留。

第二空：本空为比喻关系。
根据“公约数”可知，本空为比喻关系。空处应体现“公约数”的特性。“公约数”不能“探索”，不能“追寻”，只能“求”公约数，对应C选项“寻求”。

故本题选C。
【2021-广东县级-002】